湖北省老河口市张集镇中心学校 陈全虎

九年制义务教育三年制初中教科书《几何》第三册第83面有这样一道例题。

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例：如图7－38，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F，求证：CE∥DF

证明：连结AB

∵ABEC是圆⊙O1的内接四边形

∴∠BAD=∠E

又∵ADFB是⊙O2的内接四边形

∴∠BAD+∠F=180°

图7-38∴CE∥DF

例题的结论是所得这样的两条弦的CE∥DF。

是否都存在着经过相交两圆的两交点分别作两条直线与两圆都相交，与两圆的各自交点所形成的弦CE和弦DF互相平行（即CE∥DF）呢？为此笔者进行探索。并分两种情况研究，题目同例题不变。

（一）两圆心在公共弦的两旁。

图(1)：

证明：连结AB

∵在⊙O1中有BC=BC

∴∠E=∠BAC

又∵在⊙O2中有BD=BD

∴∠F=∠BAC

∴∠E=∠F

∴CE∥DF

图(2)：

证明：

连结AB

∵在⊙O1中有BC=BC

∴∠E=∠A

又∵在⊙O2中有BD=BD

∴∠BFD=∠A

∴∠E=∠BFD

∴∠E=∠BFD

∴CE∥DF

（二）、两圆心在公共弦同旁

图（3）让证明同7-38例题一样

图（4）

证明：连结 AB

∵在⊙O1中AE=AE

∴∠C=∠B

又∵在⊙O2中AF=AF

∴∠D=∠B

∴∠C=∠D

∴CE∥FD

图五证明同图（2）证明。

图（6）证明：连结AB

∵在⊙O1中有BC=BC

∴∠CAB =∠CEB

ADFB是⊙O2的内接四边形

∴∠CAB =∠F

∴∠CEB =∠F

∴CE∥FD

经过切点作两直线分别与两圆相交所得的弦是否平行呢？

由以上证明可知弦CE∥FD结论成立，若两圆相切时，

已知：如图⊙O1、⊙O2相切于T，直线AB、CD经过点T，交⊙O1于点A、C，交⊙O2于点B、D，求证：AC∥BD（九年义务教育三年制初中教科书《几何》第三册130面练习第二题）。

图（7）

证明：经过切点可作两圆内公切线MN

∵MN是⊙O1的切线

∴∠MTA =∠C

又∵MN是⊙O2的切线

∴∠NTB =∠D

∵∠MTA =∠NTB

∴∠C=∠D

∴AC∥DB

图（8）证明：经过切点T作两图外公切线MN

∵MN是⊙O1、⊙O2的公切线

∴∠MTD=∠ACT=∠BDT

∴∠ACT=∠BDT

∴AC∥DB

由此可知弦AC∥DB.